diario 3 - continuidad de una función !

October 03, 2024

hola buen día profesor, en esta clase pasada vimos el tema de continuidad de la función

siendo sincero se me hizo un poco más fácil que los otros temas anteriores ya que solo es buscar la imagen de la función y buscar su izquierda y derecha y resolverla, ya que puede ser discontinua o continua es lo que entendí del tema, pero vamos aprendiendo poco a poco con mucho ánimo

continuidad de una función

.La continuidad de una función se puede estudiar gráficamente. Una función continua es aquella función que se puede representar en una gráfica sin levantar el lápiz del papel.

Función continua

La función anterior es continua porque se puede dibujar en un solo trazo sin levantar la mano del papel.

Por otro lado, cuando en una función no se cumple la condición de continuidad anterior, se dice que es una función discontinua.

Función discontinua

La función anterior es discontinua porque para representarla se deben hacer dos trazos con el lápiz. En este caso, la función deja de ser continua en x=3, por tanto, decimos que x=3 es un punto de discontinuidad.

Además, existen tres tipos de discontinuidades: discontinuidad evitable, discontinuidad inevitable de salto finito y discontinuidad inevitable de salto infinito. En el siguiente enlace puedes ver cómo es cada tipo de discontinuidad y qué tienen de diferente cada una de ellas:

Continuidad de una función en un punto

Una vez hemos visto cómo es la gráfica de una función continua, vamos a ver cómo saber si una función es continua o no analíticamente.

Matemáticamente, una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes tres condiciones:

La función existe en ese punto, es decir, existe la imagen del punto.
$\exists \ f(a)$
Existe el límite de la función en ese punto. Por tanto, los límites laterales por la izquierda y por la derecha de la función en ese punto son iguales.
$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \quad \exists \lim_{x \to a} f(x)$
La imagen del punto coincide con el límite de la función en ese punto.
$\displaystyle f(a)=\lim_{x \to a} f(x)$

De modo que si se cumplen las tres condiciones de continuidad en todos los puntos de una función, la función es continua.

A modo de ejemplo, vamos a analizar la continuidad de la siguiente función definida a trozos:

continuidad de una funcion definida a trozos

Aunque cambie de tramo, en el punto $x=-2$ la función es continua, ya que los límites laterales de la función en ese punto son iguales y, además, coinciden con el valor de la función en ese punto.

$\lim\limits_{x \to -2^-} f(x)=\lim\limits_{x \to -2^+} f(x)= f(-2)=3$

En cambio, la función no es continua en el punto $x=4$ porque los dos límites laterales son distintos y, por tanto, no existe el límite de la función en ese punto:

$\lim\limits_{x \to 4^-} f(x)=3 \neq \lim\limits_{x \to 4^+} f(x)= 2$

En definitiva, la función definida por partes es continua en todos los números reales excepto en $x=4,$ donde tiene una discontinuidad.

También podemos comprobar que la función es discontinua en $x=4$ porque al representarla gráficamente es necesario levantar el lápiz del papel en este punto.