derivadas de orden superior, 3 parcial

hola buen día profe, esta clase pasada miramos las derivadas de orden superior o reglas de derivación trigonométricas, como ya vemos pues vamos en el parcial 3 creo que voy avanzando para bien a esto del cálculo le voy agarrando sabor también vimos 6 reglas trigonométricas y gracias a mis intereses de aprender ay la llevo poco a poco.

                                                       reglas de derivación

Las derivadas de orden superior son el resultado de derivar una función de forma consecutiva, es decir, tomando derivadas de derivadas. Se pueden obtener derivadas de segundo, tercer, o de cualquier orden superior. 

 

Las derivadas de orden superior se utilizan para: Trazar curvas, Resolver problemas de movimiento, Obtener máximos y mínimos, Realizar optimizaciones. 

 

Para obtener una derivada de orden superior, se debe derivar la función tantas veces como lo indique el orden de la derivada requerida. Por ejemplo, la derivada de una función se llama primera derivada, y la derivada de la primera derivada se llama segunda derivada.

EJERCICIO 1

Encuentra la derivada de $y=\sin (5x)$.

Solución

Podemos usar la regla de la cadena con $u=5x$. Entonces, tenemos:

$y=\sin (u)$ y $u=5x$

sus derivadas son:

${\displaystyle \frac{dy}{du}}=\cos (u)$ y ${\displaystyle \frac{du}{dx}}=5$

Ahora, aplicamos la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\cos (u)\times 5$$

$$\frac{dy}{dx}=5\cos (5x)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{dy}{dx}=\cos (5x)\times (5x{)}^{\mathrm{\prime }}=5\cos (5x)$$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $y={\cos }^2(x)$.

Solución

Podemos empezar escribiendo como $(\cos (x){)}^2$. Luego, tenemos:

$y=u^2$ y $u=\cos (x)$

Las derivadas son:

${\displaystyle \frac{dy}{du}}=2u$ y ${\displaystyle \frac{du}{dx}}=-\sin (x)$

Usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=2u(-\sin (x))$$

$$\frac{dy}{dx}=-2\cos (x)\sin (x)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{dy}{dx}=2\cos (x)\times (\cos (x){)}^{\mathrm{\prime }}=-2\cos (x)\sin (x)$$

EJERCICIO 2

Encuentra la derivada de $y={\cos }^2(x)$.

Solución

Podemos empezar escribiendo como $(\cos (x){)}^2$. Luego, tenemos:

$y=u^2$ y $u=\cos (x)$

Las derivadas son:

${\displaystyle \frac{dy}{du}}=2u$ y ${\displaystyle \frac{du}{dx}}=-\sin (x)$

Usando la regla de la cadena, tenemos:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=2u(-\sin (x))$$

$$\frac{dy}{dx}=-2\cos (x)\sin (x)$$

Generalmente, escribimos de la siguiente forma para encontrar la respuesta más rápido:

$$\frac{dy}{dx}=2\cos (x)\times (\cos (x){)}^{\mathrm{\prime }}=-2\cos (x)\sin (x)$$

referencias 

Derivadas de funciones trigonométricas con Ejercicios - Neurochispas

reglas de derivación trigonométricas - Búsqueda

Reglas De Derivación Trigonométricas - Búsqueda Imágenes

Cómo derivar funciones sin reglas de derivación - Ej. 1