CALCULO DE VOLUMEN PARA SOLIDOS EN REVOLUCION Y METODOS DE ARANDELAS

BUEN DIA PROFE, LA CLASE PASADA MIRAMOS EL CALCULO DE VOLUMEN PARA SOLIDOS EN REVOLUCION Y METODOS DE ARANDELAS EN LO PERSONAL SE ME HIZO UN POCO MENOS COMPLICADO QUE SACAR EL AREA YA QUE PRIMERO ERA SACAR EL RADIO EXTERIOR Y DESPUES RADIO INTERIOR Y DESPUES SE INTEGRA Y EMPESAMOS A RESOLVER EL EJERCICIO !

CALCULO DE VOLUMEN PARA SOLIDOS EN REVOLUCION Y METODOS DE ARANDELAS

El cálculo del volumen de sólidos de revolución implica girar una curva alrededor de un eje y luego determinar el volumen del sólido generado. Existen varios métodos para calcular este volumen, siendo los más comunes el método de los discos y el método de las arandelas.

1. Método de los Discos

El método de los discos se utiliza cuando la región a girar está directamente adyacente al eje de rotación, sin espacio en el medio. El volumen se calcula sumando volúmenes de discos infinitesimales a lo largo del eje de rotación.

📐 Fórmula:

Para una función $y = f(x)$ girando alrededor del eje $x$:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx$$

Para una función $x = g(y)$ girando alrededor del eje $y$:

$$V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy$$

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⚙️ 2. Método de las Arandelas

El método de las arandelas (o discos huecos) se aplica cuando se gira una región que tiene un agujero, es decir, cuando hay un espacio entre la región y el eje de rotación.

📐 Fórmula:

Para una función girando alrededor del eje $x$:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left([R(x)]^2 - [r(x)]^2\right) \, dx$$

• $R(x)$ es el radio externo (distancia desde el eje de rotación hasta el borde exterior).
• $r(x)$ es el radio interno (distancia desde el eje de rotación hasta el borde interior).

Para el eje $y$:

$$V = \pi \int_{c}^{d} \left([R(y)]^2 - [r(y)]^2\right) \, dy$$

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🔍 Ejemplo Práctico:

Calcule el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las curvas $y = x^2$ y $y = 4$ alrededor del eje $x$.

1. Radio externo: $R(x) = 4$
2. Radio interno: $r(x) = x^2$
3. Límites de integración: De $x = -2$ a $x = 2$

$$V = \pi \int_{-2}^{2} \left(4^2 - (x^2)^2\right) \, dx$$ $$V = \pi \int_{-2}^{2} \left(16 - x^4\right) \, dx$$

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🔍 Ejemplo:

Calcule el volumen del sólido generado al girar la región delimitada por las curvas:

$$y = x^2 \quad \text{y} \quad y = 4$$

alrededor del eje $x$.

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🧮 Solución:

1. Visualización:

• La parábola $y = x^2$ es simétrica respecto al eje $y$.
• La recta $y = 4$ es horizontal y corta la parábola en $x = -2$ y $x = 2$.

2. Radio externo e interno:

• Radio externo: $R(x) = 4$ (constante, hasta la recta superior).
• Radio interno: $r(x) = x^2$ (hasta la parábola).

3. Fórmula del volumen (método de arandelas):

$$V = \pi \int_{-2}^{2} \left([R(x)]^2 - [r(x)]^2\right) \, dx$$ $$V = \pi \int_{-2}^{2} \left(4^2 - (x^2)^2\right) \, dx$$ $$V = \pi \int_{-2}^{2} \left(16 - x^4\right) \, dx$$

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4. Cálculo de la integral:

$$V = \pi \int_{-2}^{2} 16 \, dx - \pi \int_{-2}^{2} x^4 \, dx$$

Debido a la simetría, podemos multiplicar por 2 e integrar de 0 a 2:

$$V = 2\pi \left[\int_{0}^{2} 16 \, dx - \int_{0}^{2} x^4 \, dx \right]$$ $$= 2\pi \left[16x \big|_{0}^{2} - \frac{x^5}{5} \big|_{0}^{2}\right]$$ $$= 2\pi \left[(16 \cdot 2) - \frac{2^5}{5}\right]$$ $$= 2\pi \left[32 - \frac{32}{5}\right]$$ $$= 2\pi \left[\frac{160}{5} - \frac{32}{5}\right]$$ $$= 2\pi \cdot \frac{128}{5}$$ $$V = \frac{256\pi}{5} \approx 160.85$$

REFERENCIAS 

Volumen sólidos revolución y arandelas

ChatGPT

Volumen de SÓLIDO de REVOLUCIÓN (Método ARANDELAS, alrededor de X) | Ejemplo 4

El método de Arandelas o Washer, es una extensión del método de discos para sólidos huecos. Donde se tiene un radio interno r y un radio R externo de la arandela. La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.

El sólido de revolución es un cuerpo geométrico que se puede formar haciendo girar una superficie plana en torno a una recta a la que se denomina eje. Un sólido de revolución es, desde otra perspectiva, una figura tridimensional que se caracteriza porque su superficie no es plana, sino que es curva