sustitución trigonométrica 4 parcial

HOLA, BUEN DIA PROFE LA CLASE PASADA VIMOS EL TEMA DE SUSTITUCION TRIGONOMETRICA LA VD SE ME HIZO UN TEMA UN POCO LARGO DE PROCESO Y UN POCO LABORIOSO, PERO ME PONDRE A MIRAR VIDEOS PARA ENTENDERLE UN POCO AL TEMA.

        SUSTITUCION TRIGONOMETRICA





Sustitución Trigonométrica: Ejemplo Paso a Paso

Vamos a resolver la siguiente integral utilizando sustitución trigonométrica:

∫dxx2+9\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}}

🔍 Paso 1: Identificar el tipo de sustitución

Tenemos una raíz del tipo:

x2+a2\sqrt{x^2 + a^2}

La sustitución adecuada para este tipo es:

x=atan⁡(θ)⇒dx=asec⁡2(θ)dθyx2+a2=asec⁡(θ)x = a \tan(\theta) \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec^2(\theta) d\theta \quad \text{y} \quad \sqrt{x^2 + a^2} = a \sec(\theta)

En este caso, a=3a = 3, entonces:

x=3tan⁡(θ),dx=3sec⁡2(θ) dθx = 3 \tan(\theta), \quad dx = 3 \sec^2(\theta)\, d\theta

🧮 Paso 2: Sustituir en la integral

Sustituimos todo en términos de θ\theta:

∫dxx2+9=∫3sec⁡2(θ) dθ9tan⁡2(θ)+9\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}} = \int \frac{3 \sec^2(\theta)\, d\theta}{\sqrt{9\tan^2(\theta) + 9}}

Simplificamos la raíz:

9tan⁡2(θ)+9=9(tan⁡2(θ)+1)=9sec⁡2(θ)=3sec⁡(θ)\sqrt{9\tan^2(\theta) + 9} = \sqrt{9(\tan^2(\theta) + 1)} = \sqrt{9\sec^2(\theta)} = 3\sec(\theta)

Entonces la integral queda:

∫3sec⁡2(θ) dθ3sec⁡(θ)=∫sec⁡(θ) dθ\int \frac{3 \sec^2(\theta)\, d\theta}{3 \sec(\theta)} = \int \sec(\theta)\, d\theta

✅ Paso 3: Integrar

Sabemos que:

∫sec⁡(θ) dθ=ln⁡∣sec⁡(θ)+tan⁡(θ)∣+C\int \sec(\theta)\, d\theta = \ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| + C

🔄 Paso 4: Regresar a la variable original xx

Recordamos que:

x=3tan⁡(θ)⇒tan⁡(θ)=x3ysec⁡(θ)=1+tan⁡2(θ)=1+x29=x2+93x = 3\tan(\theta) \Rightarrow \tan(\theta) = \frac{x}{3} \quad \text{y} \quad \sec(\theta) = \sqrt{1 + \tan^2(\theta)} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{9}} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3}

Entonces:

sec⁡(θ)+tan⁡(θ)=x2+93+x3=x2+9+x3\sec(\theta) + \tan(\theta) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{x^2 + 9} + x}{3}

Por lo tanto:

∫dxx2+9=ln⁡∣x2+9+x3∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}} = \ln\left| \frac{\sqrt{x^2 + 9} + x}{3} \right| + C

O, simplificando la constante:

=ln⁡∣x2+9+x∣+C= \ln\left| \sqrt{x^2 + 9} + x \right| + C

✏️ Resultado Final:

∫dxx2+9=ln⁡∣x2+9+x∣+C



\boxed{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}} = \ln\left| \sqrt{x^2 + 9} + x \right| + C }

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